Graf Nedir?

Bir graf G = (V,E) kümelerinden oluşur. Burada V = {v₁,v₂,…} kümesinin elemanlarına düğüm; E = {e₁,e₂ ,…} kümesinin elemanlarına da kenar adı verilir. Bir e_k kenarı sırasız bir çift (v_i, v_j) ile belirlenir. Sözü edilen v_i ve v_j düğümleri e_k kenarının başlangıç ve bitiş düğümleridir. Grafların en yaygın gösterimi şekilde gösterildiği gibi, düğümlerin birer nokta, kenarların ise kendi başlangıç ve bitiş düğümleri arasında doğru parçaları ile gösterildiği diyagramlardır. Diyagramın kendisi graf olarak olarak adlandırılır.

Bir grafta, herhangi bir e_k kenarı bir (v_i, v_j) düğüm çifti ile eşleşir. Başlangıç ve bitiş düğümleri aynı olan kenar döngü olarak adlandırılır. Şekilde e₇ kenarı bir döngüdür. Başlangıç ve bitiş düğümü aynı olan birden fazla kenar var ise bu kenarlara paralel denir. Şekilde e₂ ve e₃ kenarları paraleldir.

Basit (Simple) Graf

Aynı iki düğümün sadece bir hatla bağlandığı, herhangi bir düğümü yine kendisine bağlayan bir hattın (çevrimin) olmadığı, hatların bir değer almadığı ve yönünün tanımlanmadığı, düğüm ve hatların sınıflandırılmadığı graflara basit graf denir.

Çoklu (Multi) Graf

İki yada daha fazla düğüm arasında birden fazla hat (paralel hatlar) varsa bu tür graflara çoklu (multi) graf denir. Çoklu graflar da yönsüz ve çevrimsizdir. Örneğin iki şehir arasında iki farklı yol varsa, bu durum çoklu grafla temsil edilir.

Dipnot: Basit graflar, çoklu graftir fakat çoklu graflar basit graf degildir.

Pseudo Graf

Çoklu grafların yeterli olmadığı durumlarda kullanılır. Yönsüz, paralel kenarı olan ve döngü içeren graflardır. Yönsüz grafların en temel halidir.

Yönlü Graf

Bir graftaki hatlar yön bilgisine sahipse bu tür graflara yönlü graf (Directed graph) denir. Bu yön bilgisi bağlantının nereden başlayıp nereden bittiğini belirtir. Yön bilgisi olan graflarda düğümler arasındaki bağlantının yönü vardır.

Çoklu Yönlü Graf

İki yönde bağlantı varsa ters yönde iki ayrı hat kullanılır ve bu tür graflara çoklu yönlü graf denir. Graf yapısında bütün kenarlar aynı çeşittir. Yani ya hepsi yönlüdür ya da değildir. Yol ağını temsil eden bir grafta trafiğin tek yada çift yönlü oluşu yönlü graflar için birörnektir.

Grafların Karşılaştırılması

Maaliyetli (Ağırlıklı) Graf

Graf yapısındaki hatlar değer alabilir ve bu değerler grafın yapısına katılabilir. Aşağıdaki örnekte olduğu gibi, bir grafın üzerindeki hatların değerleri eşit değilse ve her biri farklı bir değer alabiliyorsa bu tip graflara maliyetli yada ağırlıklı graf (weighted graph) denir. Bütün hatların değeri aynı ise bu graf maliyetli graf olarak anılamaz. Ağırlıkların bir anlamı yoktur ve her hattın değerinin 1 olduğu basit graf gibi değerlendirilir. Şehirlerin arasındaki mesafelerin hatlara değer olarak atandığı yol haritasını temsil eden graflar maliyetli graflar için örnek verilebilir.

Düzlemsel Graf

Soldaki graf, kesişmeyen hatlardan oluşacak şekilde sağdaki gibi de çizilebilir. Bu şekilde birbirini kesmeyen hatlardan oluşacak şekilde çizilebilen graflara düzlemsel graf denir

Kaynakça: Medium, Freefeast

Data Structures: Introduction To Graphs

The post Graf Teorisi appeared first on Halil Durmus.

1. Düğümler derecelerine göre büyükten küçüğe doğru sıralanır.
2. İlk renk birinci sıradaki düğüme ve bu düğümün komşusu olmayan düğümlere atanır.
3. Bir sonraki renge geçilir ve bu renk sıradaki derecesi en yüksek olan düğüme ve bu düğümün komşusu olmayan düğümlere atanır.
4. Süreç bu şekilde renklendirilmemiş düğüm kalmayana kadar devam ettirilir.

Yukarıdaki algoritmayı aşağıdaki örnek graf üzerinde açıklayacak olursak;

1.İlk renk birinci sıradaki düğüme atanır (en yüksek derecesi olan) ve daha sonra aynı renk birbirlerine bitişik olmayacak biçimde diğer düğümlere verilir.

2.Bir sonraki renge geçilir, bu renk sıradaki derecesi en yüksek olan düğüme atanır; ve sonra bu renk, daha önce renklendirilmemiş düğümlere birbirlerine bitişi olmayacak şekilde atanır.

4.Tüm düğümlere renk verilinceye kadar işlem tekrar edilir.

Uygulama Alanları;

• Harita renklendirme,
• İşlemcilerin işlem sırasını belirleme,
• Ders ve sınav programı ayarlama
• Hava alanlarında iniş ve kalkış sırasını belirleme vs.

Uygulamada, graf renklendirmenin kullanılacağı alanların başında, ilk akla gelen, harita üzerindeki bölgelerin renklendirilmesi olabilir. Graf renklendirme bilgisayar biliminde ve günlük yaşamdaki birçok problemin çözümüne ciddi bir yaklaşımdır. Şimde de günlük hayatımız da kullandığımız graf renklendirme işlemini, çakışmadan sınav oturumlarının belirlenmesi örneğinde inceleyeceğiz.

Problem

Bir üniversitede final sınavları öyle yerleştirilmek istenmektedir ki öğrencilerin farklı derslerine ait sınavları çakışmasın. Üniversitede 4 tane öğrenci ve 6 tane ders vardır ve herhangi bir öğrenci tabi ki aynı anda birden çok ders almaktadır. Bir de elimizde hangi öğrencinin hangi dersleri aldığı liste vardır.

4 tane öğrenci 6 tane ders varsa ilgili kümelerimiz:

D={d0, d1, d2, d3, d4, d5}
Ö={Öğrenci-1, Öğrenci-2, Öğrenci-3, Öğrenci-4}

Her bir öğrencinin aldığı dersler de aşağıdaki gibi olsun:

Öğrenci-1: d0, d1, d4 Öğrenci-2: d0, d2, d4
Öğrenci-3: d2, d3, d5 Öğrenci-4: d3, d4, d5

Soru: Herhangi bir öğrencinin sınavı çakışmayacak şekilde yerleştirme yapılmasına yönelik olarak sınavlar için kaç farklı oturum gerektiği ve aynı anda hangi derslere ait sınavların yapılabileceğini belirleyiniz.

Çözüm:

Bu problem graf renklendirme ile çözülebilir. Dersler graf üzerindeki düğümler olarak kabul edilip öğrencilerin aldığı dersler de düğümler arasındaki hatları belirler. Bu grafın renklendirilmesi sonucu hangi dersin aynı anda yapılabileceği sonucu çıkar; aynı renge ait dersler aynı anda yapılabilir denilir. Kromatik sayı sınavların yapılması için gerekli toplam oturum sayısını verir.

İlk yapılması gereken bu verilerden ilgili grafın ortaya çıkarılmasıdır; derslerin kendileri grafın düğümlerini,
alınan dersler de düğümler arasındaki bağlantıyı belirler.

Graf elde edildikten sonra Welch ve Powel algoritmasına göre düğümler derecelerine göre sıralanır. En yüksek dereceli düğüme ilk renk atanır.

Welch ve Powel algoritmasına göre renklendirilirse aynı renge sahip olan dersler arasında ilişki olmadığı ve sınavların aynı anda yapılabileceği ortaya çıkar.

Dolayısıyla Sonuç

Kromatik sayı 4 çıkmıştır; toplam dört oturum yapılmalıdır. Buna göre d4 dersinin ve d5 dersinin sınavı tek başına ayrı oturumlarda yapılmalıdır; ancak d2 ile d1 veya d0 ile d3 derslerinin sınavları aynı anda yapılabilir.

Soru: Öğrenci-4 d4 dersini almaktan vazgeçip bırakırsa sınav yerleştirimi nasıl olur?

Bu durumda Öğrenci-4’ün alacağı dersler d3 ve d5 olacaktır ve daha önce d4’den dolayı oluşan d3-d4 ve d4-d5 hatları, eğer bu kenarlar başka bir öğrenci tarafından da oluşturulmuyorsa graftan çıkarılacaktır. Bu durumda grafın yeni durumu ve renklendirme aşağıdaki gibi olur.

Görüldüğü gibi kromatik sayı 3 çıkmıştır; bu durumda tüm oturum yeterlidir ve derslere ait sınavları aşağıdaki gibi yapılabilir:

Not:Düzlemsel bir G=(D, K) grafı en fazla 4 renk kullanılarak renklendirilebilir; yani, kromatik sayı 4’tür.

Kaynakça: Geeksforgeeks, Princeton,

Gould, R. (Ed.). Graph Theory. Menlo Park, CA: Benjamin-Cummings, 1988.

Lec 6 | MIT 6.042J Mathematics for Computer Science, Fall 2010 | Video Lecture 

The post Graf Renklendirme (Welsh-Powell Algoritması) appeared first on Halil Durmus.

2007 de başlatılan proje, zSpace’in 2013 yılında yaptığı bir açıklamaya göre 400’den fazla okul alanı, sağlık okulları ve üniversiteler de binlerce öğrenci tarafından kullanılıyor. Şu anda ise 1000’den fazla okul alanı, teknik okullar, tıp fakülteleri, sağlık okulları ve üniversite öğrencileri tarafından kullanılıyor.

zSpace Nedir?

Keşif ve deneyimsel öğrenmenin amaçlandığı bu projede sürükleyici ve etkileşimli gerçeğe yakın deneyimler sunmak adına artırılmış gerçeklik (AR) ve sanal gerçeklik (VR) öğelerini birleştirmiştir. zSpace; 24 inç HD LCD ekranı, dokunmatik kalemi ve yüksek çözünürlüklü stereopsis polarize 3D gözlüğü ile öğrenmenin sınırsız olduğu bir dünyanın kapılarını açıyor. Dünyanın ilk AR/VR Dizüstü Bilgisayarı olan zSpace sistemi, ekranına entegre edilen sensörler yardımı ile izleme özelliği sahiptir. Böylelikle kalemini ve gözlüğünü kolaylıkla takip eder. Kullanıcıya; başını çevirdiği tarafa, kalemi tuttuğu elini uzattığı tarafa 3D sanal görüntülerin kullanıcı ile birlikte hareket etmesini sağlar. Gerçek nesnelerde hissedilen bakış açısına göre değişen konum ve parçaların birbiri ile olan orantılı uzaklık ve ilişkisinin aynısını hissettirir.

zSpace gözlükleri hafif ve şık bir görünüme sahiptir ve kalemi ise normal bir kalem gibi kullanılabilir. 6 serbestlik derecesine sahip bu kalem ile kullanıcılar bileklerini kolayca hareket ettirebilir. Aynı zamanda ekrandaki nesneleri alıp inceleme imkanına sahip olurlar. zSpace kullanımının dışında kullanıcılar, bilgisayarı Windows 10 dizüstü bir bilgisayar olarak kullanabilirler.

AR/VR Dizüstü Bilgisayarı Kimler Kullanabilir?

zSpace kullanmanın yaşı yoktur desek tamda yeri olur. İlkokul seviyesinden doktora eğitimine kadar birçok eğitim seviyesinde yazılım setine sahiptir. İstediğiniz eğitim setini satın alabilir, ayrıca geliştirme özelliğini kullanarak eklemek istediğiniz bir materyal olduğunda kolayca tasarlayabilirsiniz.

Öğrencilere soru sorma, bilgi toplama, belki de en önemli özellikleri diyebileceğimiz model geliştirme ve fikirlerini test etme, veri analiz ile sonuca ulaşma imkanı sunar. Öğretmenlere ise ders anlatımında öğrencilerin daha iyi anlayabilmeleri için kaynak ve materyal kullanımını sunar.

Sonuç olarak zSpace öğrencilere öğrendikleri bilgiyi ekrandan alıp inceleme imkanına sunarken bir konunun derinlemesine öğrenilmesinin tam karşılığıdır diyebiliriz.

Kaynakça: zSpace, Venturebeat, vStream

The post zSpace, Dünyanın İlk AR/VR Dizüstü Bilgisayarı appeared first on Halil Durmus.

Britanya’nın ünlü şairi Lord Byron’ın tek meşru çocuğu Lovelace, kendisini bir analiz uzmanı ve metafizikçi olarak tanıtıyordu. Hipnoz ve kafatası şekline göre kişilik analizi yapıyor, bir yandan da ünlü matematikçi ve mühendis Charles Babbage’la çalışarak, Babbage’ın geliştirdiği dev mekanik makinelere destek veriyordu.

Analitik Makine

“1830’larda, Lovelace henüz 17 yaşındayken başlattıkları bu ortaklık, genç kadının matematiğe duyduğu tutkuyla farklı bir boyuta taşındı. Teoride bambaşka ve çok daha gelişmiş makineler yaratma planları yapıyordu.” Analitik Makine adını verdiği bu yeni sistem, karmaşık sayıları bile hesaplayabilme becerisine sahip olacaktı. Ancak ne yazık ki Babbage ve Lovelace dışında hiç kimse bu planı anlayıp, bahsettiği türden bir makinenin gerçek potansiyelini göremedi. İşte bu, bilgisayarların ilk mekanik atası olabilecek makineydi ve genç bir kadının zihninde gelişti.

Bir hesap makinesinden fazlası olan Analitik Makine, kullanıcının, delgili kartlarla ilettiği komutlarla beslenerek harekete geçiriliyor, istenilen her türlü matematiksel görevi yerine getirebiliyordu. Daha doğrusu, hayata geçirilebilse böyle olacaktı. Lovelace bu makinenin karmaşık matematik problemlerini çözerken nasıl çalışacağını belirleyen talimatları bile yazdı. Çalışmalarını inceleyen uzmanlar, onun tarihteki ilk bilgisayar programını yazdığını söylüyorlar.

Lovelace kusursuz bir eğitim almış olsa da kadınların henüz üniversiteye girmelerine izin verilmeyen bir çağda yaşadı. Bu nedenle eğitimini Charles Babbage’la tamamladı. Hatta Babbage’ın, geleceğe damgasını vuracak makinelerle ilgili öngörülerini birkaç adım ileriye taşıyarak, bunların sadece sayılarla uğraşmayacağını, harfler ve imajlarla da çalışabileceklerini söylüyordu. Hatta müziğe bile el atabilirlerdi. Bir başka deyişle, günümüz modern bilgisayarlarının sergilediği becerileri tarif etti.

Zamanın zanaatkârları, Lovelace’ın onlara tarif ettiği karmaşık mekanik parçaları üretebilselerdi, hiç kuşku yok ki o ilk bilgisayarın yaratıcısı olmayı da başarırdı. Sadece modern bilgisayarların işlemcisine karşılık gelen bir parçayı elde edebildi ki bunu da Babbage’ın oğlu üretti.

Bilinen ilk bilgisayar programcılarından olan, müzikle, atlarla ve hesap makineleri ile ilgilenen Ada Lovelace, 27 Kasım 1852’de 37 yaşında Marylebone’de kanserden hayata gözlerini yumdu.

Kaynakça: Theguardian, Wikipedia, Thoughtco, Timeturk

The post Ada Lovelace: Tarihin İlk Bilgisayar Programcısı appeared first on Halil Durmus.

Grafik tabanlı bir ara yüz (GUI), mouse ve klavye üçlemesi ile öne çıkan ilk Macintosh bilgisayar hem kişisel kullanım da hem de ofis kullanımında önemli avantajları da beraberinde getirdi.1946 yılında kullanımına başlanan tarihin ilk elektronik bilgisayarı ENIAC sonrasındaki gelişmelerden biri de 1970’lerde evinin garajında ilk kişisel bilgisayarlarını yapan Steve Jobs ve Steve Wozniak’a aittir.

Böylece Apple’ın doğuşunun ardından sürekli olarak yeni çalışmaları hedefleyen bu iki isim 1984 yılında Macintosh serisinin de ilk adımını atmışlardır. Macintosh ismi ise ana markaları olan Türkçe’de elma anlamına gelen “Apple” ile bağlantılıdır. Amerikalı bir çiftçi olan John McIntosh’un arazisinde bulunan özel bir elma türüne kendi ismini vermiştir. Apple ekibi, McIntosh elmasından esinlenerek bu yeni projeye Apple ile bağlantılı bu ismi vermek istemişler ancak gerekli yasal izinler alınamadığı için buradan esinlenerek Macintosh isminde karar kılmışlardır.

1.Yazılım

1.1. Mac OS – Mac OS X

Macintosh serisi bilgisayarlar, genellikle Apple’in kendi ürünü olan Mac OS işletim sistemini kullanır. Mac OS, kendi içinde Mac OS Classic (1984-2001) ve Mac OS X (2001- ) olarak ikiye ayrılır. İki işletim sistemi birbirinden bağımsızdır ve Mac OS X, Classic altında çalışan yazılımları Classic (Mac OS X) adı verilen bir yazılım ile çalıştırmaktadır; ama Classic desteği, Apple’in Macintosh serisinde Intel işlemcileri kullanması ile bitmiştir ve günümüzde sadece PowerPC sahibi Macintoshlar Classic yazılımlarını çalıştırabilmektir. 

1.2. Windows

Intel işlemcili Macintoshlar, Boot Camp adı verilen bir yazılım sayesinde Microsoft Windows işletim sistemi de kullanabilmektedir. Yazılım, Windows XP SP2, Windows Vista, Windows 7 ve Windows 8 desteği ile işletim sisteminin Macintoshlarda rahatlıkla çalışabilmesi için gerekli sürücüleri de yüklemektedir.

1.3. A/UX

Bu bilgisayarlarda çalışabilen başka bir işletim sistemi ise yine Apple’in kendi ürünü olan A/UX işletim sistemidir. İşletim sistemi Macintosh II, Macintosh Quadra ve Macintosh Centris serisi Macintoshlarda UNIX çalıştırılabilmesi ve ayrıca Mac OS işletim sisteminin arayüzünü koruma amacıyla, 1988 yılında piyasaya sürülmüştür. Sistem fazla tutmamış ve PowerPC işlemci serisine uyarlanmadan 1995 yılında geliştirilmesi durdurulmuş ve piyasadan kaldırılmıştır.

1.4. Linux

Macintosh serisi bilgisayarlarda, çeşitli Linux sürümlerinin çalıştırılabilmesi mümkündür. Bunlardan belki de Macintosh için en ünlüsü MkLinux işletim sistemidir. Sistem 1996 yılında OSF Research Institute ve Apple C tarafından yapılmıştır.

1.5. iApps

iApps, Apple’ın genelde Mac bilgisayarları ile birlikte dağıttığı veya iLife veya iWork gibi yazılım paketleri ile satışa sunduğu yazılımlara denir. Bu yazılımlar, iTunes dışında, sadece Mac OS X altında çalışmaktadır.

2. Donanım

Şu anda üretimde olan bütün Mac serisi bilgisayarlar Intel x64 işlemcileri kullanmaktadır. Bu bilgisayarlar standard olarak minimum 4 GB hafıza içermektedirler. Macler, Combo Drive (DVD okuyucu ve CD yazıcı) veya SuperDrive (DVD ve CD yazıcı) ile gelmektedir. Güncel Macintoshlar, veri transferi için USB, FireWire ve Thunderbolt portlarını kullanmaktadırlar.

3. İşlemci

Orijinal Mac, 128k, 8 MHz hız ile çalışan Motorola 68000 işlemcisi ile üretilmiştir. Kullanılan işlemciler doksanlı yılların başında kendini PowerPC, ve 2005 yılında ise Intel x86 işlemcilerine bırakmıştır.

4. Veri Transferi ve Bağlantılar

İlk çıkan Macintosh’lar, hard disk veya disket okuyucular için Apple’ın özel olarak hazırlanmış seri portunu kullanmaktaydı. Bu daha sonra kendisini Macintosh Plus’ın piyasaya sürülmesi ile SCSI’ye bırakmıştır.

Klavye, fare gibi aygıtlar için, Macintosh II ile beraber Apple Desktop Bus(ADB) portu kullanılmaya başlanıldı. 1998 yılında iMac’in piyasaya sürülmesi ile birlikte, Apple, ADB yerine USB kullanmaya başladı. ADB portuna sahip olan son Macintosh, 1999 yılında piyasaya sürülen PowerMac G3 (B&W) oldu. Bu Macintosh ADB ile birlikte USB’yi destekleyen ilk ve tek Macintosh’du.

Kaynakça: Wikipedia, Wikiwand

The post Macintosh Bilgisayarlar appeared first on Halil Durmus.