Graf Nedir?

Bir graf G = (V,E) kümelerinden oluşur. Burada V = {v₁,v₂,…} kümesinin elemanlarına düğüm; E = {e₁,e₂ ,…} kümesinin elemanlarına da kenar adı verilir. Bir e_k kenarı sırasız bir çift (v_i, v_j) ile belirlenir. Sözü edilen v_i ve v_j düğümleri e_k kenarının başlangıç ve bitiş düğümleridir. Grafların en yaygın gösterimi şekilde gösterildiği gibi, düğümlerin birer nokta, kenarların ise kendi başlangıç ve bitiş düğümleri arasında doğru parçaları ile gösterildiği diyagramlardır. Diyagramın kendisi graf olarak olarak adlandırılır.

Bir grafta, herhangi bir e_k kenarı bir (v_i, v_j) düğüm çifti ile eşleşir. Başlangıç ve bitiş düğümleri aynı olan kenar döngü olarak adlandırılır. Şekilde e₇ kenarı bir döngüdür. Başlangıç ve bitiş düğümü aynı olan birden fazla kenar var ise bu kenarlara paralel denir. Şekilde e₂ ve e₃ kenarları paraleldir.

Basit (Simple) Graf

Aynı iki düğümün sadece bir hatla bağlandığı, herhangi bir düğümü yine kendisine bağlayan bir hattın (çevrimin) olmadığı, hatların bir değer almadığı ve yönünün tanımlanmadığı, düğüm ve hatların sınıflandırılmadığı graflara basit graf denir.

Çoklu (Multi) Graf

İki yada daha fazla düğüm arasında birden fazla hat (paralel hatlar) varsa bu tür graflara çoklu (multi) graf denir. Çoklu graflar da yönsüz ve çevrimsizdir. Örneğin iki şehir arasında iki farklı yol varsa, bu durum çoklu grafla temsil edilir.

Dipnot: Basit graflar, çoklu graftir fakat çoklu graflar basit graf degildir.

Pseudo Graf

Çoklu grafların yeterli olmadığı durumlarda kullanılır. Yönsüz, paralel kenarı olan ve döngü içeren graflardır. Yönsüz grafların en temel halidir.

Yönlü Graf

Bir graftaki hatlar yön bilgisine sahipse bu tür graflara yönlü graf (Directed graph) denir. Bu yön bilgisi bağlantının nereden başlayıp nereden bittiğini belirtir. Yön bilgisi olan graflarda düğümler arasındaki bağlantının yönü vardır.

Çoklu Yönlü Graf

İki yönde bağlantı varsa ters yönde iki ayrı hat kullanılır ve bu tür graflara çoklu yönlü graf denir. Graf yapısında bütün kenarlar aynı çeşittir. Yani ya hepsi yönlüdür ya da değildir. Yol ağını temsil eden bir grafta trafiğin tek yada çift yönlü oluşu yönlü graflar için birörnektir.

Grafların Karşılaştırılması

Maaliyetli (Ağırlıklı) Graf

Graf yapısındaki hatlar değer alabilir ve bu değerler grafın yapısına katılabilir. Aşağıdaki örnekte olduğu gibi, bir grafın üzerindeki hatların değerleri eşit değilse ve her biri farklı bir değer alabiliyorsa bu tip graflara maliyetli yada ağırlıklı graf (weighted graph) denir. Bütün hatların değeri aynı ise bu graf maliyetli graf olarak anılamaz. Ağırlıkların bir anlamı yoktur ve her hattın değerinin 1 olduğu basit graf gibi değerlendirilir. Şehirlerin arasındaki mesafelerin hatlara değer olarak atandığı yol haritasını temsil eden graflar maliyetli graflar için örnek verilebilir.

Düzlemsel Graf

Soldaki graf, kesişmeyen hatlardan oluşacak şekilde sağdaki gibi de çizilebilir. Bu şekilde birbirini kesmeyen hatlardan oluşacak şekilde çizilebilen graflara düzlemsel graf denir

Kaynakça: Medium, Freefeast

Data Structures: Introduction To Graphs

The post Graf Teorisi appeared first on Halil Durmus.

1. Düğümler derecelerine göre büyükten küçüğe doğru sıralanır.
2. İlk renk birinci sıradaki düğüme ve bu düğümün komşusu olmayan düğümlere atanır.
3. Bir sonraki renge geçilir ve bu renk sıradaki derecesi en yüksek olan düğüme ve bu düğümün komşusu olmayan düğümlere atanır.
4. Süreç bu şekilde renklendirilmemiş düğüm kalmayana kadar devam ettirilir.

Yukarıdaki algoritmayı aşağıdaki örnek graf üzerinde açıklayacak olursak;

1.İlk renk birinci sıradaki düğüme atanır (en yüksek derecesi olan) ve daha sonra aynı renk birbirlerine bitişik olmayacak biçimde diğer düğümlere verilir.

2.Bir sonraki renge geçilir, bu renk sıradaki derecesi en yüksek olan düğüme atanır; ve sonra bu renk, daha önce renklendirilmemiş düğümlere birbirlerine bitişi olmayacak şekilde atanır.

4.Tüm düğümlere renk verilinceye kadar işlem tekrar edilir.

Uygulama Alanları;

• Harita renklendirme,
• İşlemcilerin işlem sırasını belirleme,
• Ders ve sınav programı ayarlama
• Hava alanlarında iniş ve kalkış sırasını belirleme vs.

Uygulamada, graf renklendirmenin kullanılacağı alanların başında, ilk akla gelen, harita üzerindeki bölgelerin renklendirilmesi olabilir. Graf renklendirme bilgisayar biliminde ve günlük yaşamdaki birçok problemin çözümüne ciddi bir yaklaşımdır. Şimde de günlük hayatımız da kullandığımız graf renklendirme işlemini, çakışmadan sınav oturumlarının belirlenmesi örneğinde inceleyeceğiz.

Problem

Bir üniversitede final sınavları öyle yerleştirilmek istenmektedir ki öğrencilerin farklı derslerine ait sınavları çakışmasın. Üniversitede 4 tane öğrenci ve 6 tane ders vardır ve herhangi bir öğrenci tabi ki aynı anda birden çok ders almaktadır. Bir de elimizde hangi öğrencinin hangi dersleri aldığı liste vardır.

4 tane öğrenci 6 tane ders varsa ilgili kümelerimiz:

D={d0, d1, d2, d3, d4, d5}
Ö={Öğrenci-1, Öğrenci-2, Öğrenci-3, Öğrenci-4}

Her bir öğrencinin aldığı dersler de aşağıdaki gibi olsun:

Öğrenci-1: d0, d1, d4 Öğrenci-2: d0, d2, d4
Öğrenci-3: d2, d3, d5 Öğrenci-4: d3, d4, d5

Soru: Herhangi bir öğrencinin sınavı çakışmayacak şekilde yerleştirme yapılmasına yönelik olarak sınavlar için kaç farklı oturum gerektiği ve aynı anda hangi derslere ait sınavların yapılabileceğini belirleyiniz.

Çözüm:

Bu problem graf renklendirme ile çözülebilir. Dersler graf üzerindeki düğümler olarak kabul edilip öğrencilerin aldığı dersler de düğümler arasındaki hatları belirler. Bu grafın renklendirilmesi sonucu hangi dersin aynı anda yapılabileceği sonucu çıkar; aynı renge ait dersler aynı anda yapılabilir denilir. Kromatik sayı sınavların yapılması için gerekli toplam oturum sayısını verir.

İlk yapılması gereken bu verilerden ilgili grafın ortaya çıkarılmasıdır; derslerin kendileri grafın düğümlerini,
alınan dersler de düğümler arasındaki bağlantıyı belirler.

Graf elde edildikten sonra Welch ve Powel algoritmasına göre düğümler derecelerine göre sıralanır. En yüksek dereceli düğüme ilk renk atanır.

Welch ve Powel algoritmasına göre renklendirilirse aynı renge sahip olan dersler arasında ilişki olmadığı ve sınavların aynı anda yapılabileceği ortaya çıkar.

Dolayısıyla Sonuç

Kromatik sayı 4 çıkmıştır; toplam dört oturum yapılmalıdır. Buna göre d4 dersinin ve d5 dersinin sınavı tek başına ayrı oturumlarda yapılmalıdır; ancak d2 ile d1 veya d0 ile d3 derslerinin sınavları aynı anda yapılabilir.

Soru: Öğrenci-4 d4 dersini almaktan vazgeçip bırakırsa sınav yerleştirimi nasıl olur?

Bu durumda Öğrenci-4’ün alacağı dersler d3 ve d5 olacaktır ve daha önce d4’den dolayı oluşan d3-d4 ve d4-d5 hatları, eğer bu kenarlar başka bir öğrenci tarafından da oluşturulmuyorsa graftan çıkarılacaktır. Bu durumda grafın yeni durumu ve renklendirme aşağıdaki gibi olur.

Görüldüğü gibi kromatik sayı 3 çıkmıştır; bu durumda tüm oturum yeterlidir ve derslere ait sınavları aşağıdaki gibi yapılabilir:

Not:Düzlemsel bir G=(D, K) grafı en fazla 4 renk kullanılarak renklendirilebilir; yani, kromatik sayı 4’tür.

Kaynakça: Geeksforgeeks, Princeton,

Gould, R. (Ed.). Graph Theory. Menlo Park, CA: Benjamin-Cummings, 1988.

Lec 6 | MIT 6.042J Mathematics for Computer Science, Fall 2010 | Video Lecture 

The post Graf Renklendirme (Welsh-Powell Algoritması) appeared first on Halil Durmus.